温州中学2014年度第一学期期中考试--高三数学试卷(文科)

发布时间:2021-11-28 15:26:44

温州中学 2014 年度第一学期期中考试--高三数学试卷(文科)
温州中学 2013 学年第一学期期中考试 高三数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
? ? ? ? 1.已知全集U ? R ,集合 A ? x | ?2≤ x ≤3 , B ? x | x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,那么 A (CU B) ?
()
A.?x | ?2≤ x ? 4? B.?x | x ≤3或x≥4? C.?x | ?2≤ x ? ?1? D.?x | ?1≤ x ≤3?

2. ?x ? R, x2 ? ax ?1 ? 0 为假命题,则 a 的取值范围为( )

A. (?2, 2)

B. [?2, 2]

C. (??, ?2) (2, ??) D. (??, ?2] [2, ??)

3.已知 a 是函数 f(x)=2x-log1x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足(



2

A.f(x0)=0

B. f(x0)<0

C f(x0)>0

D.f(x0)的符号不确定

4.已知等差数列?an? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 6 项的和 S 6 为( )

A.2 1

B.13 5

C.9 5

D.2 3

5.在正方体 ABCD? A' B'C' D' 中,直线 BB/ 与*面 A' BD 所成的角的正
弦值等于( )

A. 2 4

B. 2 3

C. 3 3

D. 3 2

6.已知点 P(x, y) 在直线 x ? y ?1 ? 0上运动,则 (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 的最小值为(



A. 1 2

B. 2 2

C. 3 2

D. 3 2 2

7.在 ?ABC中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,若 a2 ? b2 ? 2bc , sin C ? 3sin B ,则 A ?

()

A. ? 6

B. ? 3

C. 2? 3

D. 5? 6

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?x ? y ?1? 0

8.

在*面直角坐标系中,若不等式组

? ?

x

?

1

?

0

( a 为常数)所表示*面区域的面积等于 2,

??ax ? y ? 1 ? 0

则 a 的值为( )

A. -5

B. 1

C. 2

D. 3

9.圆 c1 : (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,圆 c2 : (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 ,M、N 分别是圆 c1 ,c2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则 | PM | ? | PN | 的最小值为:( )

A. 5 2 ? 4

B. 17 ?1

C. 6 ? 2 2

D. 17

10.定义在

R 上的奇函数

f

(x) ,当 x

?

0 时,

f

(x)

?

??log 1 (x ? 1), x ?[0,1) ?2

,则函数

??1? | x ? 3 |, x ?[1,??)

F(x) ? f (x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为(



A. 2a ?1

B. 2?a ?1

C.1? 2?a

D.1 ? 2a

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11. 一个球的外切正方体的表面积等于 6,则此球的表面积为



? ? ? ? ? ? ? , ? ? 12.

已知*面向量 ?

??
,|

?
|? 1,|

?
|? 2,

?
?(

-2

?
)则| 2

?

?

?

| 的值是

.

13. 若关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 (? 1 , 1) ,其中 a , 23
b 为常数,则 a ? b ?

14. 已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2y ? xy ? 6 ,则 x ? 2y 的最小值为

15.函数 f (x) ? Asin(? x ? ? ), (A,? ,? 是常数, A ? 0,? ? 0) 的部

分图象如图所示,则 f (0) ? ____

16. 已知函数 f (x) ? 1 x3 ? mx2 ? 2n( m ,n 为常数),当 x ? 2 时,函数 f (x) 有极值,若函数 y ? f (x) 3

有且只有三个零点,则实数 n 的取值范围是



17.设不等式

log

a

(1

?

1) x

?

1 的解集为

D

,若

?1?

D

,则

D

?

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三、解答题(共 72 分)

18.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 3 sin ? x ? sin2 ? x ? 1 (? ? 0 )的最小正周期为 ? .

2

22

(1)求? 的值及函数 f (x) 的单调递增区间; (2)当 x ?[0, ?] 时,求函数 f (x) 的取值范围. 2

19.(本题满分 14 分)

四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥*面 ABCD,E 为 AD 的中点,ABCE 为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,

G、F 分别是线段 CE、PB 的中点.

(Ⅰ) 求证:FG∥*面 PDC;

P

(Ⅱ) 求二面角 F-CD-G 的正切值.

F

A

E G

D

B

C

(第 20 题图)

20. (本题满分 14 分)在*面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点

P(0,2),且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B.

(1)求 k 的取值范围;

(2)是否存在常数

k,使得向量 OA



OB



?
PQ

共线?如果存在,求

k

值;如果不存在,请说

明理由.

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21.(本题 15 分)

已知数列{ an }的前 n 项和为 S n

,S n

? 2?(2 n

? 1)an (n

? 1) .

( Ⅰ ) 求 证 : 数 列 { an n

} 是 等 比 数 列 ;( Ⅱ ) 设 数 列 { 2n ? an } 的 前

n

项 和 为 Tn



An

1
=
T1

?1 T2

?1 T3

??? 1 Tn

.试比较 A n

与2 nan

的大小.

22.(本小题满分 15 分) 已知 f (x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R (1)若 a ? 0 时,求函数 y ? f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程;
(2)若函数 f (x) 在 ?1,2?上是减函数,求实数 a 的取值范围;
(3)令 g(x) ? f (x) ?x 2, 是否存在实数 a ,当 x ?(0, e]( e 是自然对数的底)时,函数 g(x) 的 最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

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浙江省温州中学 2013 学年第一学期高三期中考试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 D

A

B

A

C

A

B

D

A

D

? ? ? ? 1.已知全集U ? R ,集合 A ? x | ?2≤ x ≤3 ,B ? x | x2 ? 3x ? 4 ? 0 ,那么 A (CU B) ?(D) A.?x | ?2≤ x ? 4? B.?x | x ≤3或x≥4? C.?x | ?2≤ x ? ?1? D.?x | ?1≤ x ≤3?

2. ?x ? R, x2 ? ax ?1 ? 0 为假命题,则 a 的取值范围为(A)

A. (?2, 2)

B. [?2, 2]

C. (??, ?2) (2, ??) D. (??, ?2] [2, ??)

3.已知 a 是函数 f(x)=2x-log1x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足( B ) 2

A.f(x0)=0

B. f(x0)<0

C f(x0)>0

D.f(x0)的符号不确定

4.已知等差数列?an? 满足 a2 ? a4 ? 4 , a3 ? a5 ? 10 ,则它的前 6 项的和 S 6 为(A )

A.2 1

B.13 5

C.9 5

D.2 3

5.在正方体 ABCD? A' B'C' D' 中,直线 BB/ 与*面 A' BD 所成



角的正弦值等于( C )

A. 2 4

B. 2 3

C. 3 3

D. 3 2

6.已知点 P(x, y) 在直线 x ? y ?1 ? 0上运动,则 (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2



最小值为( A )

A. 1 2

B. 2 2

C. 3 2

D. 3 2 2

7.在 ?ABC中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,若 a2 ? b2 ? 2bc ,sin C ? 3sin B ,则 A ? ( B )

A. ? 6

B. ? 3

C. 2? 3

D. 5? 6

?x ? y ?1? 0

8.

在*面直角坐标系中,若不等式组

? ?

x

?

1

?

0

( a 为常数)所表示*面区域的面积等于 2,

??ax ? y ? 1 ? 0

则 a 的值为( D )

A. -5

B. 1

C. 2

D. 3

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9.圆 c1 : (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 ,圆 c2 : (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 ,M、N 分别是圆 c1 ,c2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则 | PM | ? | PN | 的最小值为:( A)

A. 5 2 ? 4

B. 17 ?1

C. 6 ? 2 2

D. 17

10.定义在

R 上的奇函数

f

(x) ,当 x

?

0 时,

f

(x)

?

??log 1 (x ? 1), x ?[0,1) ?2

,则函数

??1? | x ? 3 |, x ?[1,??)

F(x) ? f (x) ? a(0 ? a ? 1) 的所有零点之和为( D )

A. 2a ?1

B. 2?a ?1

C.1? 2?a

D.1 ? 2a

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11. 一个球的外切正方体的表面积等于 6,则此球的表面积为 ? .

? ? ? ? ? ? ? , ? ? 12.

已知*面向量 ?

??
,|

?
|? 1,|

?
|? 2,

?
?(

-2

?
)则| 2

?

?

?

| 的值是

10

.

13. 若关于 x 的不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 (? 1 , 1) ,其中 a , 23
b 为常数,则 a ? b ? -14

14. 已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2y ? xy ? 6 ,则 x ? 2y 的最小值为 4

15.函数 f (x) ? Asin(? x ? ? ), (A,? ,? 是常数, A ? 0,? ? 0) 的部

分图象如图所示,则 f (0) ? ____ 6 2
16. 已知函数 f (x) ? 1 x3 ? mx2 ? 2n( m ,n 为常数),当 x ? 2 时,函数 f (x) 有极值,若函数 y ? f (x) 3
有且只有三个零点,则实数 n 的取值范围是 (0, 2) . 3

17.设不等式

log

a

(1 ?

1 x

)

?

1 的解集为

D

,若

?1?

D

,则

D

?

(1

1 ?

a

,

0)



浙江省温州中学 2013 学年第一学期高三期中考答卷纸(文科)
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温州中学 2014 年度第一学期期中考试--高三数学试卷(文科)

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 D

A

B

A

C

A

B

D

A

D

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. 三、解答题(共 72 分)

18.(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 3 sin ? x ? sin2 ? x ? 1 (? ? 0 )的最小正周期为 ? .

2

22

(1)求? 的值及函数 f (x) 的单调递增区间; (2)当 x ?[0, ?] 时,求函数 f (x) 的取值范围. 2

解:(1) f (x) ? 3 sin ?x ? 1? cos?x ? 1

2

2

2

? 3 sin ? x ? 1 cos? x

2

2

? sin(?x ? ?) . 6

因为 f (x) 最小正周期为 ? ,所以? ? 2 .

于是 f (x) ? sin(2x ? ?) . 6

由 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? ? , k ?Z ,得 k? ? ? ? x ? k? ? ? .

2

6

2

3

6

所以 f (x) 的单调递增区间为[ k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z . 36

(2)因为 x ?[0, ?] ,所以 2x ? ? ?[ ? , 7?],

2

6 66

则 ? 1 ? sin(2x ? ?) ? 1.

2

6

所以 f (x) 在[0, ?]上的取值范围是[ ? 1 ,1].

2

2

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19.(本题满分 14 分)

四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥*面 ABCD,E 为 AD 的中点,ABCE 为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,

G、F 分别是线段 CE、PB 的中点.

(Ⅰ) 求证:FG∥*面 PDC;

P

(Ⅱ) 求二面角 F-CD-G 的正切值.

F

证明:(Ⅰ) 延长 BG 交 AD 于点 D, PF ? CG ? 1 PB CE 2

A

E

G

D

而 CG ? BG ? 1 ,? BF ? BG ? 1 ,所以 FG / /PD , CE BD 2 PB BD 2

B

C

(第 20 题图)

FG ? *面PDC, PD ? *面PDC,?FG / /*面PDC

(Ⅱ)过点 F 作 FM ? AB于M , 易知 FM ? 面ABCD

过 M 作 MN ? CD于N, 连接 FN,则 CD ? 面FMN

?CD ? MN,CD ? FN,??FNM 即所求二面角的*面角

不妨令 PA=AB=1,则 FM = 1,MN ? 3,所以 tan? ? 2 .

2

4

3

20. (本题满分 14 分)在*面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点

P(0,2),且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A、B.

(1)求 k 的取值范围;

(2)是否存在常数

k,使得向量 OA



OB



?
PQ

共线?如果存在,求

k

值;如果不存在,请说

明理由.

解:(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为 Q(6,0).过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为

y=kx+2,代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0,

整理得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①

直线与圆交于两个不同的点 A、B 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)>0,解得

-34<k<0,即 k 的取值范围为??-34,0??.

(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)

则 OA + OB =(x1+x2,y1+y2),

4?k-3? 由方程①得 x1+x2=- 1+k2 .②

又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③
因 P(0,2)、Q(6,0), PQ =(6,-2),

所以 OA + OB 与 PQ 共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式,
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温州中学 2014 年度第一学期期中考试--高三数学试卷(文科)

解得 k=-34.
而由(1)知 k∈???-34,0???,故没有符合题意的常数 k.

21.(本题 15 分)

已知数列{ an }的前 n 项和为 S n

,S n

? 2?(2 n

? 1)an (n

? 1) .

(Ⅰ)求证:数列{ an }是等比数列; n

(Ⅱ)设数列{ 2n ? an }的前 n 项和为T n

,An

1
=
T1

?1 T2

?1 T3

??? 1 Tn

.试比较 A n

与2 nan

的大小.

解:(1)由

a1=S1=2-3a1



a1=

1 2





Sn=2-(

2 n

+1)an



Sn-1=2-(

2 n ?1

+1)an-1,

于是

an=Sn-

Sn-1=(

2 n ?1

+1)an-1-(

2 n

+1)an,

整理得

an

1
=

×

an?1

(n≥2),

n 2 n ?1

所以数列{ an }是首项及公比均为 1 的等比数列.

n

2

(2)由(Ⅰ)得 an = 1 × ( 1 )n?1 = 1 . n 2 2 2n

于是

2nan=n,Tn=1+2+3+…+n=

n(n ? 2

1)



1 ? 2 ? 2( 1 ? 1 ) , Tn n(n ? 1) n n ? 1

An=2[(1-

1 2

)+(

1 2

-

1 3

)+…+

(1 n

?

n

1) ?1

=2(1-

n

1 ?1

)=

2n n ?1

.

又2 nan

2 n?1 = n2

,问题转化为比较

2 n?1 n2



2n n ?1

的大小,即

2 n

n 2

与 n 的大小. n ?1

设 f(n)=

2n n2

,g(n)=

n. n ?1

∵f(n+1)-f(n)= 2n[n(n ? 2) ?1] ,当 n≥3 时, f(n+1)-f(n)>0, [n(n ?1)]2

∴当 n≥3 时 f(n)单调递增, ∴当 n≥4 时,f(n) ≥f(4)=1,而 g(n)<1, ∴当 n≥4 时 f(n) >g(n), 经检验 n=1,2,3 时,仍有 f(n) ≥g(n), 因此,对任意正整数 n,都有 f(n) >g(n),

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An

<

2 nan

.

22.(本小题满分 15 分)

已知 f (x) ? x2 ? ax ? ln x, a ? R

(1)若 a ? 0 时,求函数 y ? f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程;

(2)若函数 f (x) 在 ?1,2?上是减函数,求实数 a 的取值范围;

(3)令 g(x) ? f (x) ?x 2, 是否存在实数 a ,当 x ?(0, e]( e 是自然对数的底)时,函数 g(x) 的

最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由。

解:(1)当 a ? 0 时, f (x) ? x2 ? ln x

∴ f ?(x) ? 2x ? 1 x

…………1 分

∴ f ?(1) ? 1, f (1) ? 1……2 分∴函数 y ? f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x ? y ? 0 …3 分

(2)∵函数 f (x) 在 ?1,2?上是减函数

∴ f ?(x) ? 2x ? a ? 1 ? 2x2 ? ax ?1 ? 0 在 ?1,2?上恒成立

x

x

…………4 分

令 h(x)

?

2x2

?

ax

?

1

,有

?h(1) ? 0 ??h(2) ? 0

?a



? ? ??a

? ?

?1 ?7
2

∴a ? ?7 2

(3)假设存在实数 a ,使 g(x) ? ax ? ln x 在 x ? ?0, e?上的最小值是 3

…………6 分 …………7 分

g?(x) ? a ? 1 ? ax ?1 xx

…………8 分

①当 a ? 0时, g?(x) ? 0 ,∴ g(x) 在 ?0, e? 上单调递减, g(x)min ? g(e) ? ae ?1 ? 3

a ? 4 (舍去) e

…………10 分

②当 1 ? e 时,即 a ? 1 , g?(x) ? 0 在 ?0, e? 上恒成立,∴ g(x) 在 ?0, e? 上单调递减

a

e



g ( x) m in

?

g(e)

?

ae

?1 ?

3,a

?

4 e

(舍去)

…………11 分

③当 0 ? 1 ? e 时,即 a ? 1 ,令 g?(x) ? 0 , 0 ? x ? 1 , g?(x) ? 0 , 1 ? x ? e

a

e

a

a



g(

x)



?? ?

0,

1 a

?? ?

上单调递减,在

?? ?

1 a

,

e???

上单调递增



g ( x) m in

?

g(1) a

?1?

ln

a

?

3,a

?

e2

满足条件

……13 分

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综上所述,存在实数 a ? e2 ,使 g(x) ? ax ? ln x 在 x ? ?0, e?上的最小值是 3 …………14 分
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